[스크랩] 피타고라스의 정리(4)

7. 레오나르도 다 빈치의 증명

이 그림은 레오나르도 다 빈치(Leonardo da Vinci, 1452-1519)가 고안했던 것이라고 한다.   그림에서                                   AC // JG,  BC // FJ 되게 하면  △ ABC ≡ △ CID ≡ △ FJG  □ IDEH ≡ □ EABH ≡ □ CAFJ ≡ □ JGBC  ∴ ABHIDE = CAFJGB  ∴ ABHIDE - 2△ABC = CAFJGB - 2△ABC  ∴ □ ACDE + □ CBHI = □ AFGB  -------------------- ∞ --------------------

8. 도형 분할을 이용한 증명법(1)

C, F에서 AB, BC에 수선 CM, FN을 내려 그 교점을 P라고 하면                     FN ⊥ PG   ∴ △ ABC ≡ △ CPN ≡ △ PFG                                                ∴ □ CAFP = AC · CN = AC2  같은 방법으로                                   □ CPGB = BC2        ∴   ------------------- ∞ ------------------ 누구의 증명인지 모를 경우에는 증명법에 따라 번호를 붙이고 있다

9. 아나리지의 증명법 -B.C900년경 아나리지가 증명한 방법

BC 900년경 아나리지 (Annairizi)가 증명한 방법.                       B, D를 지나고 선분 AC, 선분 BC에 평행선을 그리면 (1), (2), (3), (4), (5)의 넓이가 각각 같아서                            AC2 + BC2 = AB2 -------------------- ∞ ------------------

10. 캄파의 증명법

캄파(Campa)가 1902 년에 발표한 증명한 도형 분할을 이용한 증명 방법.   C, D를 지나고 선분 AB, 선분 AC에 각각 평행한 평행선을 그리면 (1), (2), (3), (4), (5)의 넓이가 각각 같아서                            AB2 + AC2 = BC2 ------------------ ∞ ------------------

11. 도형 분할을 이용한 증명법(2)

왼쪽 그림에서                        □ AIFC = AC2 = (1) + (3) + (4)                         □ JLEH = BC2 = (2) + (5)                         □ ADEB = AB2 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5)  이므로,                     AC2 + BC2 = □ AIFC + □ JLEH                   = (1) + (3) + (4) + (2) + (5)                   = (1) + (2) + (3) + (4) + (5)                   = □ ADEB                                                  = AB2 즉,                                          AC2 + BC2 = AB2 ------------------- ∞ --------------------

12. 도형분할을 이용한 증명법(3)

그림과 같이 도형을 삼각형으로만 나누고, 그 수를 될 수 있는 대로 적게 하자는 시도로, 여러 가지 비슷한 풀이법이 많이 있다. ------------------ ∞ -------------------

13. 도형 분할을 이용한 증명법(4)

△ ABC = △ (2) = △ (3) = △ (4) (1) + (2) + (3) + (4) = (6) + (7) (8) + (6) = □ CQPB (7) + (9) = □ BPLS ∴  □ CQPB + □ BPLS -( (1) + (2) + (3) + (4) )            = (8) + (9)                                 ∴   AC2 + BC2 = AB2 ------------------ ∞ -------------------

14. 호킨스의 증명법

1909년 호킨스(Hawkins)가 증명한 방법                                                           CA > CB 라 하고, CA 위에 CB = CC' 이 되게 C'을 잡고,                                       BC 연장선 위에 AC = CB' 이 되게 B'을 잡는다.                                                             이 때, △ ABC ≡ △ B'C'C,  AB = B'C' = c   △ACB' = b2/2, △BCC' = a2/2   □B'AC'B = △ AC'B' + △ BB'C'                                               또, 점 B'에서 점 C'을 지나  AB와 만나는 점을 D라 하면,                                                                   △ B'C'C ∽ △ AC'D 이므로 B'C'⊥ AB          ∴  a2 + b2 = c2

15. 가필드의 증명법 -1876년 미국의 20대 대통령 카필드의 증명으로 사다리꼴의     넓이를 이용함

미국 대통령 중 몇 명은 수학과 미약한 관계를 유지했었다. 워싱턴(George Washington)은 유명한 측량가였고, 제퍼슨(Thomas Jefferson)은 미국에서 고등 수학을 가르칠 것을 장여하려고 많은 노력을 했으며, 링컨(Abraham Lincoln)은 유클리드의 '원론'을 공부함으로써 논리를 배웠다는 이야기가 있다.   더욱 독창적이었던 사람은 20대 대통령 가필드 (James Abram Garfield, 1831-1881)였는데, 그는 학창 시절에 초등수학에 대한 강렬한 흥미와 상당한 재능을 갖고 있었다. 그가 독창적으로 피타고라스 정리에 대한 멋진 증명을 발견했던 시기는. 그가 대통령이 되기 5년 전인 하원의원 시절이었던 1876년이었다.  그는 다른 상원의원들과 수학에 대해서 토론을 하던 중에 그 증명이 떠올랐는데, 그 증명은 뒤에 뉴잉글랜드 교육잡지에 게재되었다. 이 증명은 사다리꼴의 넓이에 대한 공식을 배운 즉시 제시될 수 있다.

(참고 : 수학의 위대한 순간들, 경문사, H.Eves, pp39-41)

1876년 가필드가 발표한 교묘한 증명 방법 □ DECA = △ DEB + △ ABC + △ DBA ∴  a2 + b2 = c2  ------------------ ∞ -------------------

 

16. 월리스의 증명

바스카라는 빗변에 수선을 그려서 피타고라스 정리에 대한 둘째 증명을 했다. 이 증명은 17세기에 영국의 수학자 월리스(John Wallis, 1616-1703)에 의해서 재발견되었다.   △ ADC ∽ △ ABC    b : x = c : b        ∴  b2 = cx 마찬가지로   △ CDB ∽ △ ABC   ∴  a2 = cy   ∴   a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) =  c2 ---------------- ∞ -----------------

이것은 조금 다른 형태의 증명이다. 이 증명은 1950년 3월 Mathematics Magazine, 33호, p. 210, 에 실려있다.   AB = c, AC = b, BC = a 그리고 BD = x 라고 하면,   a2 = cx   그리고   b2 = c(c - x) 이다. 좌변과 우변을 각각 더하면    a2 + b2 = cx + c(c-x) = cx + c2 - cx =  c2    ∴   a2 + b2 =  c2 이 증명은  Dr. France Dacar, Ljubljana, Slovenia 이 서로 서신을 주고 받으면서 제안했다. 이 그림은 피타고라스의 증명의 변형으로 생각할 수 있다.  첫째, 위의 삼각형의 닮음을 이용한 또 다른 증명방법이다.  둘째, 유클리드의 증명의 변형으로   AD = b2 /c,  BD = a2/c   임을 알 수 있다. 참고 :  http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#6

출처 : 진선생수학

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피타고라스의 정리(4) | 수학이야기

진선생 | 조회 362 | 2010/06/16 01:37:37

29. 원을 이용한 증명(3)

	이 증명은 할선과 접선의 길이 사이의 관계를 이용한 증명법이다. △ABC는  ∠C가 직각인 삼각형이다. 점 C에서 변 AB 에 수선을 내리고, 수선의 발을 P 라고 하자. ∠CPB = ∠R 이므로 점 P는 지름이 BC인 원 위에 있고, CA는 지름이 BC인 원의 접선이다. 따라서, AC2 = AP·AB ……① 그리고, ∠CPA = ∠R 이므로 점 P는 지름이 AC인 원 위에 있고, CB는 지름이 AC인 원의 접선이다. 즉, BC2 = PB·AB ……② ① 과 ②의 각 변을 더하면 AC2 + BC2  = AP·AB + PB·AB = (AP + PB)AB = AB·AB     ∴  AC2 + BC2 = AB2   --------------- ∞ ---------------
	* 할선과 접선의 길이 사이의 관계  "원 밖의 한 점 P에서 그 원에 그은 접선과 할선이 그 원과 만나는 점을 각각 T, A, B 라고 하면  PT2 = PA·PB 이다." 접선과 현이 이루는 각에서     ∠ATP = ∠ABT ,  ∠P는 공통      △ATP ∽ △ABT 이다. 따라서,  PA : PT = PT : PB         ∴   PT2 = PA·PB

 

30. 사비트 이븐 쿠라의 증명(2)

Swetz, Frank J.는 이 증명을 abu' l'Hasan Thâbit ibn Qurra Marwân al'Harrani (826-901). 에게 공을 돌리고 있다. 이 증명은 사비트 이븐 쿠라의 두 번째 증명이다. 첫 번째 증명은 Proof #23 이다. 이 증명은 Proof #20 과 공통점이 있다. 그림에서  △ABC = △FLC = △FMC              = △BED = △AGH = △FGE 이다. (오각형 ABDFHC의 넓이)  = AC2 + BC2 + (△ABC + △FLC + △FMC) 이고 (오각형 ABDFHC의 넓이)  = AB2 + (△BED + △FGE + △AGH) 이므로     ∴  AC2 + BC2 = AB2

 

 

31. B.F.Yanney의 증명

 

이 증명은 B.F.Yanney(1903)가 했다. Proof #1 과 Proof #20 와 비슷한 증명으로 슬라이딩법(미끄러지기)를 이용했다. 그림에서    □ LMOA = □ LKCA = □ ACDE = AC2   □ HMOB = □ HKCB = □ HKDF = BC2  이므로 ∴  AC2 + BC2 = □ LMOA + □ HMOB                      = □ HMOB = AB2

32. 도형 분할을 이용한 증명(5)     이 증명도 앞의 증명들처럼 아주 단순하다.

 

 

33. 도형 분할을 이용한 증명(6)

앞의 Proof #33 번에서 사용한 똑같은 조각을 약간 다른 방법으로 배열했다

34. Liu Hui의 도형 분할을 이용한 증명(1)

35. 박부성의 도형 분할을 이용한 증명

이 증명은 박부성이 1999년 12월 Mathematics Magazine 에 발표한 설명없는 증명(PWW) 이다. 하지만 설명을 조금 하자.     처음 그림은 각 변의 길이가  a, b, c (a < b < c (빗변))인 직각삼각형이다. 또, 빨간 삼각형은 빗변의 길이가 b인 직각이등변삼각형이다.  따라서, (빨간 삼각형의 넓이) = b2/4 이고, 가운데 (정사각형의 넓이) = a2      두 번째 그림에서 직각이등변삼각형의 꼭지점을 이으면 정사각형이 만들어지는데, 이 때 정사각형의 한변의 길이는 처음에 주어진 삼각형의 대각선의 길이 c와 같다. 또, 이등변 삼각형의 대각선은 정사각형의 중점을 지난다.  이 때, 4개의 합동인 삼각형(파란색)의 쌍이- 하나는 정사각형 안에 하나는 정사각형 밖에 생겨난다.     세 번째 그림은 한변이 길이가 c인 정사각형이다. 따라서 c2 = a2 + 4·b2/4

 

36. Ann Condit의 증명

△ABC 는  ∠C 가 직각인 삼각형이다.  BC, CA, AB 의 길이를 각각 a, b, c 라고 하고, 그림처럼 BC 와 AC 를 한 변으로 하는 정사각형을 그리면,       △ABC ≡ △PCQ (∵SAS) 이므로      ∠CPQ = ∠A  ……① △ABC 의 빗변 AB 의 중점을 M 이라 하고, MC 의 연장선과 PQ 의 교점을 R 이라고 하자.  AM = MB = MC 이므로 △CMB 는 이등변 삼각형이다. 따라서, ∠MBC = MCB 이고, 또, ∠PCR = ∠MCB  (∵맞꼭지각) 이므로     ∠PCR = ∠MBC  ……② ①, ② 에 의해  ∠CRP = ∠R. 즉, MR ⊥ PQ

이제,  △MCP 의  넓이를 두 가지 방법으로 구해보자.   (1) △MCP 에서 PC = b 를 밑변이라고 하면, 삼각형의 높이는 M 에서 PC 까지의 거리이다. 즉,  AC/2 = b/2 이다.       따라서 △MCP = 1/2 · b · b/2 = b2/4   (2) △MCP 에서 CM = c/2 를 밑변이라고 하면, 삼각형의 높이는 PR 이다.       따라서 △MCP = 1/2 · c/2 · PR = c·PR /4       △MCP = b2/4 = c·PR /4  이므로   ∴  b2 = c·PR  ……③ 비슷한 방법으로, △MCQ = a2/4 = c·RQ /4  이므로   ∴  a2 = c·RQ  ……④ ③, ④ 의 양변을 각각 더하면,     ∴  a2 + b2 = c·PR + c·RQ = c(PR + RQ) = c·c = c2 이 증명은 1938년 미국의 고등학생 Ann Condit 의 증명으로 알려져 있다.

 

37. Michelle Watkins 의 증명

이 증명은 1997/98년 Math spectrum에 나온 것으로 North Florida 대학의 한 학생인  Michelle Watkins 의 증명 중 하나를 단순화 시킨 것이다. 그림처럼 △ABC 와 △DEF 는 각각 ∠C 와 ∠F 가 직각인 직각삼각형이다.  점 A 는 ED 위에 있고, 점 B, F, C, D 는 한 직선 위에 있다.  BC = EF = a, AC = FD = b, AB = ED = c 라고 하다.  분명히, AB ⊥ ED    이다. 이제,  △MCP 의  넓이를 두 가지 방법으로 구해보자.   (1) △BDE =  AB·ED = c2 (2) △EFD 와 △ACD 는 닮음이므로       FD : CD = EF : AC,   CD = FD·AC/EF = b2/a  이고,      BD = BC + CD = a + CD  이므로,    △BDE =  EF·BD =  a·BD =  a(a + b2/a)   (1), (2) 에서,    c2  =   a(a + b2/a)                  ∴  c2 = a2 + b2

 

38. Douglas Roges 의 증명

Douglas Rogers는 같은 그림을 보고 하나를 단순화 시켜 다른 방법으로 증명할 수 있다고  했다. Proof #37 에서 삼각형의 넓이를 구하는 두 번째 방법은 삼각형의 닮음을 이용하지 않고 구할 수 있다. 물론 나머지는 똑 같다. 그림처럼 △ABC 와 △DEF 는 각각 ∠C 와 ∠F 가 직각인 직각삼각형이다.  점 A 는 ED 위에 있고, 점 B, F, C, D 는 한 직선 위에 있다.  BC = EF = a, AC = FD = b, AB = ED = c 라고 하다.  분명히, AB ⊥ ED    이다. 이제,  △MCP 의  넓이를 두 가지 방법으로 구해보자.   (1) △BDE 의 밑변을 ED, 높이를  AB 라고 하면               △BDE =  c2 (2) △BDE 는 △AFD 와 □EBFA 로 나눌 수 있다.      △AFD 의 밑변을 FD, 높이를  AC 이므로              △BDE =  a2               □EBFA 는 △BEF 와 △AEF 로 이루어져 있는데, 밑변이  EF 로 공통이고, 높이의 합이 BC 이므로              □EBFA =  b2          (1), (2) 에서,    c2  =   a2  +  b2                   ∴  c2 = a2 + b2 39. Shai Simonson 의 증명(1)   캠브리지 스톤힐 대학의 Shai Simonson 교수의 첫 번째 증명이다. 위의 그림에서 제시한 간단한 대수 증명을 사용하여 피타고라스의정리를 증명했다. 아래 그림에서 색칠된 부분의 관계를 살펴 보자.   40. Shai Simonson 의 증명(2)   스톤힐 대학의 Shai Simonson 교수의 두 번째 증명이다. 첫번째 증명과 마찬가지로 삼각형에 내접하는 원의 반지름을 이용했다. 넓이가 같은 삼각형과 사각형을 비교하면서 얻은 간단한 대수적 증명을 기하학적 그림 위로 옮겨와 직관적으로 증명했다. Shai 교수는 자신의 증명을 'The History of Mathematical  Ingenuity'라고 했다.       d=2r = 직각삼각형에 내접하는 원의 지름       (a - r) + (b - r) = c,   a + b = c + 2r,   a + b = c + d        ab×4 = (a + b + c)d,    2ab = ad + bd + cd

 

41. Böttcher 의 증명   이 증명은 J. E. Böttcher 의 증명이다. Nelsen 의 Proofs Without Words Ⅱ. p6 에 인용되었다. 아래의 그림은  S. K. Stein의 조금 다른 증명이다.   42. Jack Oliver 의 증명       이 증명은 Jack Oliver 의 증명이다. 1997년 3월 Mathematical Gazette81 에 처음 발표했다. Proof #39  과 같이 직각삼각형에 내접하는 원의 그림을 사용했다. △ABC 는  ∠C 가 직각인 삼각형이다.  BC, CA, AB 의 길이를 각각 a, b, c 라고 하고, r = (내접원의 반지름) , p =  (a + b + c)  라고 하면,  △ABC 의  넓이는 두 가지 방법으로 구할 수 있다. (1) △ABC = ar + br + cr = (a + b + c)r = pr       그림에서  c = (a - r) + (b - r)  즉,   r = p - c        따라서,  △ABC = p(p - c ) ……① (2) △ABC = ab  ……② ① = ② 이므로   p(p - c ) = ab      (a + b + c)(a + b - c) = 2ab      (a + b)2 - c2 = 2ab      ∴  a2 + b2 - c2 = 0  43. J. Barry Sutton 의 증명 이 증명은 사비트 이븐 쿠라(Thâbit ibn Qurra, 836-901)가 증명 중 하나를 생각하게 한다. 하지만 그것과는 완전히 다르다. 이 증명은 J. Barry Sutton 이 2002년 3월, The Math Gazette  에 발표한 것이다. △ABC 은  ∠C = 90° 인 삼각형이다.  BC, CA, AB 의 길이를 각각 a, b, c 라고 하고, AB 의 연장선 위에 BC = BD = BE = a 인 점 D, E 를 잡자.  점 B 가 중심이고 점 C 를 지나는 반지름이 a 인 원을 작도하면, ∠DCE 는 (지름이 DE 인) 반원에 대한 원주각이다.  즉, ∠DCE = 90°   ∠ACB = 90° =∠DCE  이므로, ∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB = ∠BCE    △BEC 와가 이등변 삼각형이므로,   ∠BCE = ∠BEC      즉,   ∠ACD = ∠BEC ……①      △ACD 와  △AEC 에서 ∠DAC 는 공통  ……②    ① , ② 에서,  △ACD 와  △AEC  닮음(AA닮음)이다.   따라서,   AC : AE = AD : AC     즉,   b : c + a = c - a : b              b2 = (c + a)( c - a) ,     b2 = c2 - a2         ∴  a2 + b2 = c2    44. Liu Hui의 도형 분할을 이용한 증명(2)  Douglas Rogers 는 중국 수학의 역사를 연구하는 과정에서 유휘 (劉徽 Liu Hui, 3세기경)의 분할법을 우연히 찾아냈다.  이 증명은 Proof #39 , Proof #40 과 Proof #42 의 변형이기도 하다.  이 증명은 두단계를 거친다.    첫 번째 단계는 (1), (2), (3) 으로 (1)은 두 변 a, b 와 빗변 c 인 직각삼각형을 나타낸다. 그리고 d 는 직각삼각형에 내접하는 원의 지름이다.  (2)와 (3)을 비교하면,  a + b = c + d 임을 알 수 있다  두 번째 단계는 (4), (5) 로  a + b = c + d 를 이용하여 만든 두 개의 정사각형에 (4), (5) 모양으로 재배열하였다   45. Geoffrey Margrave의 증명 루슨트 테크놀리지의 Geoffrey Margrav 의 증명이다. 이 증명은  Proof #26  과 매우 비슷하게 보인다. 하지만 다른 방법이라는 것을 알 수 있다. 변의 길이가 a, b, c 인 직각삼각형을 만들고 각각의 변에  a, b, c 를 차례로 곱하여 3 종류의 닮은 삼각형을 만든다. 이것들을 위의 그림처럼 붙여 직사각형을 만든다. 이 때, 직사각옇의 윗변의 길이는 a2 + b2 이다. 그런데  아랫변의 길이는 c2 이다. 즉,    a2 + b2 = c2 이 증명은  Proof #16  과  Proof #24  를 변형하여 얻은 두 개의 삼각형을 붙여놓은 것이다.